dr qe dt m dr q d r = ω ˆ =ω a r r r dx q q 0 dt m m dr dt dx dy dz dt dt dt dt dt dt dr dv dt dt q q dt dt c= cm/ = G ω ω ω = v mv

Transcript

1 8 סיכום /נוסחאון למבחן בפיזיקה מ //. השימוש בנוסחאון זה הוא באחריות הנבחן בלבד. בהצלחה! / סיכום למבחן בפיזיקה מ (47) // (חורף תשס"ב) ˆ yˆ ˆ y y ( C) ( ) C ( C) ( C) ( ) C C Cˆ sin(ˆ ) ˆ X Z Y Z X Y Y X Z X Y Z Z Y X Y Z X ˆ+ yˆ + ˆ y + + y ˆ y ˆ ˆ ˆ + y+ + + y y () וקטורים ורקע מתמטי מכפלות סקלריות os(ˆ ) ˆ () חוקי ניוטון ומשוואות התנועה (3) תנועת חלקיק בשדה חשמלי ומגנטי נוסחאות הכוחות מכפלות וקטוריות os d t () t () t () t () ˆ+ yty () ˆ + t () ˆ d dy d () t () t ˆ+ yˆ + ˆ ˆ+ yy ˆ + ˆ d t () at () t () נגזרות בוקטורים יישומים בתנועה מעגלית: d a ω ˆ t () os( ω t ) ˆ+ sin( ωty ) ˆ d a t ( ) ωsin( ω t ) ˆ +ωos( ωt) yˆ π ω T ω d ω ˆ ωω ˆ ω ˆ ω a הערה חשובה: ע"מ למצוא את תנאי ההתחלה, יש לעשות אינטגרציה ולהציב בפתרון t ולמצוא את התנאים המתאימים. תנועת חלקיק בשדה חשמלי אחיד וקבוע תנועת חלקיק בשדה מגנטי אחיד וקבוע (אנרגיה קינטית נשמרת) (שינוי כוון מהירות בלבד) d d q () t sin ω t () t osωt y ( t) onst d d y a ω osω t a ω sinωt y q ω ω + osωt ω ω y y + sin ωt ω + t ω q y- F a q E d q a E qe () t t + t+ d qe () t t+ C d P [] F a [F] [M] [ t ] F[ kgs,, ] Newton F[, g, s] Dyne q q F K ˆ K 9 9 elet. 4 πε Fga. G ˆ Q F elet. q E E K ˆ q F q F.9979 / s Fag. + el. Ftot. q E+ q סקלרית C וקטורית המרת קואורדינטות (יישום בבעייה פתורה...) + y ˆ ôs+ yˆsin tan y ˆ ˆsin+ yôs os ˆ ôs ˆ sin y sin yˆ ˆsin +ˆ os ˆ ; d d ( ˆ) ˆ + dˆ ; dˆ d ˆ ˆ + ˆ ag. [N,S] ag. [ gs, gaus] חלקיק טעון בשדה חשמלי חילופי אחיד E E ˆ E sinωtˆ חלקיק בשדה חשמלי ומגנטי d q q E E E sinωt ˆ q qe qe t () sinω t+ t+ q y ω סימן "המינוס" מתחלף לעתים בין ה- ל qe יש לשים לב בפתרון בעייה ספציפית. y q () t osω t+ ω

2 8 סיכום /נוסחאון למבחן בפיזיקה מ //. השימוש בנוסחאון זה הוא באחריות הנבחן בלבד. בהצלחה! / המשך 3 תנועה בשדה חשמלי משתנה הערה: בפתרון השאלות יש לשים לב ליחידות. אם היחידות אינן ניוטון יש להוסיף את הערך לפתרון (מהירות האור בהתאמה). (4) מערכת ייחוס וטרנספורמציית גליליי נתבונן במערכת S במרחב ו לצידה מערכת S המתקדמת לפי חוקי הקינמטיקה כשיש לה t t y y מהירות בכיוון ה- : לצופה המתבונן מחוץ למערכת נראה כי המערכת + t a+ F ( כאשר a תאוצה של הסביבה ו- נעה בתאוצה ולכן: ) a + a היא התאוצה של המערכת עצמה. y y לצופה הנמצא בתוך המערכת נראה כי הוא נע רק לפי תאוצת הסביבה a a ולכן חייב לפעול עליו כוח מדומה:. F F a a באם תאוצת Fititious F הסביבה היא אפס אזי בעזרת הכוח המדומה לא יפעלו עליו כוחות והוא a "יישאר במנוחה" יחסית למערכת בה הוא נע: a F F U U d E U U( ) U( ) F p U U (K K ) U + K U + K i U U( ) U( ) F d u u u u F U ˆ ˆ yˆ ˆ y (5) חוקי שימור האנרגיה W F F osα F d F d ; F d W F d ( ) W E E E P d W Fd הספק: F F tot. k k k במרחב ובטבע קיימים שדות כוחות הנקראים שדות מרכזיים. המאפיין את השדות הללו הוא:ˆ(). F שדות אלו הם שדות ל כוח משמר: משמרים ובהם אינטגרל העבודה במעבר מ- - איננו תלוי במסלול, ולכן לפי שמם שינוי האנרגיה במעבר בהם שווה לאפס. דוגמאות לשדות וכוחות משמרים: שדה קבוע, כוח לורנץ, כוח הגרוויטציה וכוח קולון. מושגים: ש"מ יציב (בור פוטנציאל) ש, "מ רופף (גבעת פוטנציאל). נקודת ש"מ (או לפעמים ידובר רק על הנגזרת החלקית). מכל מקום נקודת מקסימום היא ש"מ רופף ונקודת מינימום היא ש"מ יציב. F F F F נקודת ש "מ u

3 3 8 סיכום /נוסחאון למבחן בפיזיקה מ //. השימוש בנוסחאון זה הוא באחריות הנבחן בלבד. בהצלחה! / (6) חוקי שימור התנע הקווי והגדרת מערכת מרכז המסה כאשר המערכת מבודדת, התנע הכללי נשמר ולא משתנה בזמן (וגם ברכיביו). מערכת מבודדת דהיינו פועלים בה רק כוחות של פעולה ותגובה בין החלקיקים ללא פעולה של כוחות חיצוניים. התנגשות אלסטית לחלוטין בהתנגשות כזו נשמר התנע הקווי והאנרגיה d (P. + P ) הקינטית. התנגשות פלסטית לחלוטין בהתנגשות כזו נשמר התנע הקווי אולם האנרגיה המכנית (קינטית + פוטנציאלית) לא נשמרת. הערה: האנרגיה הכללית (אנרגיה כולל אנרגיית חום למשל) נשמרת. n כוחות פנימיים אינם משפיעים על התנע Ptot. i i + + i הכולל של קבוצת חלקיקים: הכוחות הפנימיים מבטלים זה את זה + +,,,, F F i, j j, i u u + u בהתאמה: + u,,,, N תנועה עם מסה משתנה: מערכת מרכז המסה: n n dp d d d n F ( ) +.. N n d n N N n n n n P n n tot... N N N onst הערה: במערכת מרכזת המסה: n n n n n n () סכום ו ק טוֹר י-המרחק של המסות ממ"מ. N N N () התנע הכולל. Fn Fetenal u d d d u α u d d d u d u u t u ( n).. ( n n) n n n דוגמא להתנגשות אי-אלסטית עם מסות משתנות לפני +d u > + d אחרי כאשר פועל כוח חיצוני, אזי : d d F et + u. el u בעייה לדוגמא: טיל פולט גזים במהירות ביחס לטיל בקצב קבוע α. מצא ביטוי d (ln ( ) ln ) ln αt t () uln + αt למהירות הטיל. הערות: d u el u דרך ב: P ; F d P בהתנגשות אלסטית חד-ממדית: + u + u dw דרך א: t t t t u α / / w α t w αt αu u dw t () + ln + u w + t t t α t w w w α w αt t t u ln + u ln + u ln αt t αt < u u elatie d P F ( + d)( + d) ( + d u) d d d + u d d + ( u) u el d d uel d d uel באופן כללי: d d α α () t α t +

4 א( ב( 4 8 סיכום /נוסחאון למבחן בפיזיקה מ //. השימוש בנוסחאון זה הוא באחריות הנבחן בלבד. בהצלחה! / tan שאלה לדוגמא התנגשויות וזווית פיזור חלקיק בעל מסה מתנגש אלסטית בחלקיק בעל מסה שנמצא במנוחה. מצאו את זווית >, <, מתוך חוק שימור התנע: ומפתרון המשוואות הנ"ל נקבל: במערכת המעבדה דוגמאות פתורות מסה משתנה ומתוך חוק שימור האנרגיה: הסטייה המקסימלית של במקרים הבאים: במערכת המעבדה,, לפני, במערכת מרכז-המסה, אחרי במערכת מרכז-המסה, u, u.. לפני, u אחרי, u ˆ onst ˆ + os + os sin sin u + u + נרשום כעת את הקשר בין המהירויות במעבדה לבין ; המהירויות במערכת מרכז המסה בעזרת טרנספורמציית גליליי: u + u + u + u u + u sin sin u sin sin os os u os+ os+ u ( u+ ) + + sin u tan os+ ניתן לגזור ולפתור... π < <π > < π u u uos, u u u u u u ; u u u usin, y u +,, u, y, y () קרונית נעה בקו ישר על מסילה ישרה אופקית באמצעות הנעה רקטית. הרקטה פולטת גזים בקצב קבוע,, λ ומהירות הגזים ביחס לקרונית היא u (קבועה). כוח החיכוך הפועל על העגלה מתכונתי למהירותה, (t), ביחס למסילה:. F-α ברגע הפעלת הרקטה הקרונית במנוחה ומסתה הכוללת היא. ( מהי המירות המכסימלית שיכולה הקרונית לפתח (אם קיימת)? ( מצא את המהירות והמרחק שעברה הקרונית כתלות בזמן. משוואת התנועה: קל לראות כי המהירות הולכת וגדלה בתאוצה שהולכת וקטנה עד. λu במצב זה / α שתתאפס. כלומר עד אשר במהירות תישאר המהירות קבועה וזו המהירות המירבית של הקרונית. על-מנת למצוא ביטויים למהירות ולמקום כפונקציה של הזמן יש לבצע אינטגרציות (שים לב כי המהירות תמיד תשאף למהירות המקסימלית ולא תגיע אליה): הערה בנוגע לשאלה על זווית הפיזור (פתרון מהבוחן): גוף בעל מסה מתנגש בגוף. הגוף נמצא במנוחה לפני ההתנגשות ומסתו היא. לאחר ההתנגשות נפרדים הגופים זה מזה. נמסן את הזווית בין כיווני התנועה של הגופים לאחר ההתנגשות ב"טיטא". הניחו כי אין שימור אנרגיה (קינטית). אזי: אם < אז בהכרח הזווית קטנה מ- 9 מעלות. אם > אז הזווית עשויה להיות בת 9 מעלות. הסבר: משימור התנע הקווי: P P P + מתקבל: P P + P P P os ; E P P P PP os P P P P P + > + E P + () tt () α t () + λ u ; t () λt t () t u/ t () d α t () ( / ) λ λ t λut () t () t t () α +λ

5 5 8 סיכום /נוסחאון למבחן בפיזיקה מ //. השימוש בנוסחאון זה הוא באחריות הנבחן בלבד. בהצלחה! / Linea ngula d d ω a d d α ω a+ ω α + + at ωω +αt + ω + + t+ at +ω t + αt + ω+ω t t + a ω ω + α (7) תנע זוויתי ומכניקה של גוף צפיד S ω a α Tקש T ת () מכונית כיבוי הנוסעת במהירות התחלתית מכבה שדה בוער ע"י התזת סילון מים בכיוון נסיעתה, בקצב של λ יחידות מסה לשנייה. מסת המכונית והמים בתחילת הנסיעה היא. M סילון המים מותז תמיד במהירות u ביחס למכונית. מצא את משוואת התנועה. t () M λ t d λ Ptot. M dp () t () t + () t () t () t [ u+ ()] t t () at () λ t () +λ [ u+ t ()] at () λu λu t () M λt כעת סילון המים מועף קדימה במהירות ביחס לצופה חיצוני. מה תהיה מסת המכונית כאשר תגיע למהירות אפס? M (M ) M i i +.. J ω ; N α E ω k ω M b 3 M J i i i N F M M הגדרות בסיסיות: J P הכללי נשמר N F dj Jtot. J P.. J M.. N N + F מומנטי התמדה בסיסיים (דרך ציר המאונך למישור הגוף ועובר דרך מרכז המסה): M טבעת דקה: M בהיעדר מומנטים חיצוניים התנע הזוויתי (בצורה וקטורית). תנועה בשדה מרכזי שומרת על ת"ז. דיסקה עגולה מלאה: מעטפת גלילית: לוח מלבני (או תיבה שבסיסה) גליל מלא: מעטפת כדורית: i et. i d J חשוב לשים לב שהתנועה יכולה להיות מורכבת וכן גם האנרגיה מביטויים של: ω + M a + b : a b tot כדור מלא : מוט דק: M 5 M מומנטים מיוחדים (+ציורים): b M + 4 M 4 ass o sall ylinde ( sall ) sall ( big ) ( big ) a ( ) 3 ( ) a a ( ) ( ) 3 M+ 4 ass o big oiginal ylinde sall M 5 M+ 4 9 M+ 4a ( ) a a ( ) ( ) M+ 4 a ; M 5 3 a big 3 a Ma דוגמא פתורה לחישוב מומנט התמד מסובך: נתונים (ביחס לחתך). מסת הגליל M אחרי החירור. הרדיוס שלו הוא. a רדיוס כל אחד מן הגלילים הקטנים הוא 3/a וציר הסימטריה של כל אחד מרוחק ב- /a מציר הסימטריה של הגליל.

6 א( ב( ג( ד( א( ב( ג( ד( 6 8 סיכום /נוסחאון למבחן בפיזיקה מ //. השימוש בנוסחאון זה הוא באחריות הנבחן בלבד. בהצלחה! / שאלות פתורות לדוגמא () אסטרואיד שמסתו נע באיזור בו פועל כוח הכובד של כדה"א. כאשר הוא עובר מעל קו המשווה (נקודה ) מרחקו ממרכז כדה"א הוא 4 e ומהירותו מכוונת צפונה. כאשר הוא חולף מעל הקוטב הצפוני (נקודה ) מרחקו ממרכז כדה"א הוא e ומהירותו היא בכוון 3 מעלות מהצפון. ( כתוב את חוקי השימור המתאימים לתנועת האסטרואיד (בנקודה כלשהי במסלול). ( חשבו את גודל המהירויות ב- וב-. ( מהו המרחק המינימלי של האסטרואיד מפני כדה"א? ( האם האסטרואיד יצליח לחזור פעם שנייה ל-? ( שימור אנרגיה: E GM E P GM 4 e J שימור תנע זוויתי: 4 eˆ J P ( מתוך התנע הזוויתי מוצאים את הקשר בין המהירויות וע"י הצבה 3GM במשוואת האנרגיה מתקבלים הערכים: 4GM 5e 5e J ω ( (*) J E GM ˆ + ˆ E + GM J GM ( *) + + E GM 4e E GM e 48GM J 4 e e 5 במרחק מינימלי נדרוש: ולכן: J GM E ומתוך שימור האנרגיה: GM 48GMe GM e 5 ( לא. בגלל שיש לו אנרגיה גדולה מאפס. () חישוק בעל רדיוס ומסה M נזרק על מישור אופקי במהירות אופקית וללא מהירות זוויתית. בגל חיכוך בין החישוק למשטח, מאיט החישוק ועובר ממצב של החלקה ללא גלגול, תחילה לגלגול תוך החלקה, ולבסוף לגלגול ללא החלקה. נתון מקדם חיכוך. מהי מהירות מרכז המסה של החישוק כאשר הגיע לגלגול טהור ואיזו דרך עבר? M (פתרון ביחס למרכז החישוק). N Mg חכוך F מומנט כל הכוחות ביחס למרכז הוא אפס מלבד מומנט כוח החיכוך: N µ Mg ω ; M µ g µ g ω ω () t t ω מהירות מרכז המסה (גלגול + החלקה): µ Mg M µ g () t µ gt µ gt µ gt t µ g t 3 () t 8 µ g a.. g sin + M gh + M k ( t) ω( t) t () sin( ω t+ϕ) t () ωos( ω t+ϕ) t ω ω t+ϕ () sin( ) ω K π T π ; ω מטוטל ת אוסילטור הרמוני מרוסן: ( t) + b + k t () + +ω τ b ; ω K τ βt t ( ) e sin( ω t+ϕ) β ; ω ω β τ ω τ > ω תנועה מאולצת ומרוסנת: ( t) + b + k Fsin( ωt) הגלגול יחל כאשר: (8) תנועה הרמונית bt ( ) ( e ) os( ω ) + Csin( ω ) ω K b e g [ ] t e t t e 4 in aa e ±ω a ±ω יש פתרון רק אם תאוצתו הקווית של גוף קשיח המתגלגל במורד מישור משופע : מהירותו של אותו הגוף עם סיום התגלגלותו במישור המשופע והמשך תנועתו במישור אופקי : פתרון כללי למשוואת התנועה בלי ה- Fsin... : ±ω

7 7 8 סיכום /נוסחאון למבחן בפיזיקה מ //. השימוש בנוסחאון זה הוא באחריות הנבחן בלבד. בהצלחה! / k () תורת היחסות הפרטית מהירות האור בריק: סימונים מקובלים: β γ [ /se] 3 [ /se] 3 [ /se] 3 [ /se] 8 [ / in],8 [ / hou] [ /se] 8 [ / in],8 [ / hou] k k k [ /se] 8 [ / in],8 [ / hou] טרנספורמציית לורנץ (עבור מערכת S הנעה ביחס למערכת S במהירות בכוון X): מעבר ממערכת S (ידוע) למערכת S (לא ידוע) יחסותי קלסי מעבר ממערכת S (ידוע) למערכת S (לא ידוע) יחסותי קלסי t t y y y y t t t ( ) t ( ) + t + t ( ) y y y y t t t t + ( ) יחסותי קלסי יחסותי קלסי מוטות נעים נראים מקוצרים: המוט שאורכו העצמי l נע במהירות יחסותית ואנו מודדים את אורכו מן המערכת שבמנוחה: L התרחבות הזמן: במערכת S נמדד זמן מסוים בין שני מאורעות באותה נקודה: t t t τ t אותו זמן שיימדד במערכת S יהיה: t t t τ γ (*) מירווח הזמן בין שני מאורעות מנקודת מבט של... (**) איפיון שני המאורעות y y y y y y y y + + בו-מקומיים ב- S בו-מקומיים ב- S בו-זמניים ב- S בו-זמניים ב- S βγ t γ t γ t βγ t γ t γτ βγτ t τ + + t τ t γτ γβτ (**) (*) צופה במנוחה ב- S צופה במנוחה ב- S אפקט דופלר: מתרחקים: מתקרבים: (אורכי) ; (אורכי) ; (רוחבי) (רוחבי) דינמיקה יחסותית () γ P ( ) E (W )E ( ) k Etot γ E + E k E P 4 (P P ) E E P E γ

8 8 8 סיכום /נוסחאון למבחן בפיזיקה מ //. השימוש בנוסחאון זה הוא באחריות הנבחן בלבד. בהצלחה! /.. טרנספורמציית לורנץ לתנע ואנרגיה מעבר ממערכת S (ידוע) למערכת S (לא ידוע) מעבר ממערכת S (ידוע) למערכת S (לא ידוע) פוטונים: E h h υ Ph 7 h 6.6 [ eg se] EPh h P Ph P הגדרת מהירות i מרכז המסה: E i P E P ( ) P y Py P P E P E ( ) P E + P ( ) Py P y P P E + P E ( ) הערה: בהתנגשויות בין שני חלקיקים במהירויות יחסותיות פועלים תמיד חוק שימור התנע הקווי וחוק שימור האנרגיה!!! כמו כן בהתנגשויות "אי-אלסטיות" מתפרקים החלקיקים המקוריים ונוצרים חלקיקים חדשים בעלי תכונות (מסות למשל) שונות. U () U.5( a /) ( a /) U a U ( ) Ua ( ) + du ( a) ( a) + d U ( a) ( a) + d d Const U d a ( a) ψ du ( a ) U U U ( ψ ) ψ K a a MPOTNT! () הערות ודוגמאות אחרונות פיתוח טור טיילור, דוגמא: בהינתן פוטנציאל U() ומבקשים למצוא את זמן המחזור / תדירות התנודות סביב נקודת שיווי-המשקל יש לפתח לטור טיילור לפי הנוסחא הבאה. לרוב הביטוי בו אנחנו מתעניינים מצוי בנגזרת השנייה. יש לקחת אותה כביטוי לאנרגיה "הרמונית" ולחלץ ממנה את הקבוע, ולמצוא את התדירות. ראה פתרון: +ω () כוחות מדומים במערכת מסתובבת רכיבי וקטור המיקום: רכיבי וקטורי המהירויות: ( osωt y sin ωt) ω( sinω t+ y os ωt) osωt y sin ωt y ( sinω t+ y os ω t) +ω( osωt y sin ωt) y y sin ω t+ y osωt רכיבי וקטור התאוצה: ( osωt ysin ωt) ω( sinω t+ y os ωt) ω ( osωt ysin ωt) a a + ω +ω ( ω ) y ( sinω t + yos ω t) + ω( osωt y sin ωt) ω ( sinω t+ yos ωt) F a a ω ω ( ω ) F F+ FCoiolis + FCenteuga FCo. ω Cent. כוח צנטריפטלי וכוח קוריוליס: ˆ F ω ( ω ) ω y y בהצלחה! ωt